Во-первых, за исключением некоторых случаев по ТК работник имеет право на 28 календарных дней оплачиваемого отпуска за год работы.
Неоплачиваемый отпуск никак не влияет на длительность очередного оплачиваемого отпуска. Больше того, работодатель был должен оплатить вам простой не по вашей вине. Ну да Бог с ним, думаю ситуация у всех сложная. Но учитывать этот вынужденный простой в счёт отпуска не имеют права и тем более объяснять: мол, ты же отдыхал, теперь работай.
Какое вы писали заявление на отпуск с 15.04 по 15.05? Если там не было оговорено, что это очередной отпуск, если там присутствовали слова "вынужленный простой", "по соглашению сторон" и т.п., то это не имеет никакого отношения к очередному оплачиваемому отпуску.
Ещё момент: составляют ли усвас график отпусков? Если да, и ваш отпуск с 01 июня предусмотрен графиком, то уходите без проблем, написав заявление "прошу предоставить мне очередной отпуск согласно графику". Если графика нет, то тут сложнее. Работодатель может вам отказать в очередном отпуске, сославшись на производственную необходимость или тем, что вас некем заменить. Да и заявление вы должны были в таком случае написать за две недели до 1.06.
Так что договаривайтесь по-любовно. Одно дело ТК, другое - политика самого предприятия по отношению к работникам. Если за сотрудников особо не держатся, вас поставят перед выбором: или работай или увольняйся. Можно, конечно, припугнуть их инспекцией по труду, но не знаю, на сколько это подействует.
Есть случаи, в которых вам обязаны предоставить административный (неоплачиваемый) отпуск: свадьба, смерть близких родственников, рождение детей, тяжёлая болезнь членов семьи (если не предоставляется больничный по уходу).