По кругу расставлены числа от 1 до 27 в случайном порядке. Докажите, что сумма некоторых трех подряд стоящих чисел не меньше 42.

Каждое число от 1 до 27 встречается только в трех тройках подряд идущих чисел. Поэтому, как бы не были расположены числа по окружности, сумма чисел во всех таких тройках будет равна 3*(1+2+...+27)=3*(1+27)*27/2=1134. Если предположить, что сумма чисел в каждой такой тройке меньше 42 (т.е. не больше 41), то, поскольку имеется всего 27 троек подряд идущих чисел, общая сумма чисел в них не превосходила бы 41*27=1107, что меньше 1134. Противоречие. Значит обязательно есть тройка, в которой сумма чисел больше 41. Что и требовалось.

Допустим, что какие бы три рядом стоящих числа мы не взяли, их сумма будет меньше 42.  Наш круг мы можем разбить на 9 троек, и тогда получится, что сумма всех чисел в круге меньше чем 42*9 = 378

С другой стороны, сумма всех чисел в круге равна 1+2+3+...+27 = 378. Получаем противоречие. Значит, должна обязательно найтись хотя бы одна тройка рядом стоящих чисел, сумма которых не меньше 42.