Для некоторой функции f:X⊂R→Y∈R известно, что f(x+2)=5x2−9x−8. Докажите, что в этом случае функция f(x) может быть задана в виде

Вычислим значение функции f(x + 2) = 5x² - 9x - 8 при x = -2. Получим f(-2 + 2) = f(0) = 5*4 + 9*2 - 8 = 20 + 18 - 8 = 30. С другой стороны f(0) равно значению функции f(x) = Ax² + Bx + C при x = 0, т. е. f(0) = C = 30 => C = 30. Вычислим теперь значение функции f(x + 2) при x = 0. f(0 + 2) = f(2) = -8. Тогда f(2) = 4A + 2B + 30 = -8 => 4A + 2B = -38 => 2(2A + B) = -38 => 2A + B = - 19. Наконец вычислим значение функции f(x + 2) при x = 1. Имеем f(1 + 2) = f(3) = 5 - 9 - 8 = -12. Тогда f(3) = 9A + 3B + 30 = - 12 => 9A + 3B = -42 => 3(3A + B) = -42 => 3A + B = -14. В результате приходим к системе: 3A + B = -14 и 2A + B = - 19. Вычитая из первого уравнения второе, получим A = -14 + 19 = 5. Тогда 10 + B = -19 => B = -29. Таким образом, функция представима в виде f(x) = 5x² - 29x + 30.

Ответ: B = -29; C = 30.