Напишите уравнение окружности, симметричной относительно точки А (—2; 3) окружности, заданной урав¬нением х2 + у2 + 6х - 4у = 0.

1. Точка А (-2;3) симметрична точке А1 (6;-9) относительно точки В. Найдите координаты точки В.
Это середина AA1; B (2;-3).
2. Дан треугольник АВС с вершинами А (2;1), В (-6;1), С (-1;5). Треугольник А1В1С1 симметричен треугольнику АВС относительно прямой, заданной уравнением х=1. Найдите координаты вершин А1В1С1.
Так как ось симметрии прямая х=1 параллельна оси OY, то Y координаты вершин А1 В1 С1, будут соответственно равны Y координатам вершин А В С. Координаты по X вычислим так:
A1x= 2 - Ax = 0;
B1x= 2 - Bx = 8;
C1x= 2 - Cx = 3;
A1 (0; 1); B1 (8; 1); C1 (3; 5);
3. Найдите вектор a параллельного переноса, при котором прямая у=3х-2 переходит в прямую у=3х+4, а прямая 3х+2у=2 переходит в прямую 6х+4у=3.
Вектор, исходящий из точки пересечения прямых до переноса, и заканчивающийся в точке пересечения прямых после переноса, будет вектор параллельного переноса.
найдём точку пересечения прямых до переноса:
y=3x-2;
3x+2y=2;
точка (2/3; 0)
найдём точку пересечения прямых после переноса:
y=3x+4;
6x+4y=3;
точка (-13/18; 11/6)
вектор a: {-13/18 - 2/3; 11/6-0}
a {-25/18; 11/6}
4. В результате поворота вокруг точки В (1;2) на 60 гр. против часовой стрелки точка А (4;2) перешла в точку А1. Найдите координаты этой точки.
Если между векторами одинаковой длины угол 60°, то проекция одного вектора на другой будет половина этой длины.
А это значит, что прямая, перпендикулярная BA, и проходящая через середину BA, будет проходить и через точку A1. Но известно, что точка A1 лежит на окружности с центром в точке B и радиусом |BA|
Одно из решений системы уравнений прямой и окружности даст координаты точки A1.
Находим координаты точки D - середины AB.
D (2.5; 2);
угловой коэффициент прямой AB: k=(2-2)/(4-1)=0; AB параллельна оси OX;
(DA1 ┴ AB); т. к. AB параллельна оси OX, то DA1 параллельна оси OY;
уравнение прямой DA1: x = 2.5; X координата точки A1 будет 2.5;
Находим уравнение окружности:
радиус |BA| ;
|BA|² = (1-4)²+(2-2)² = 9;
уравнение окружности: (x-1)²+(y-2)²=9;
Решаем систему:
{x = 2.5;
{(x-1)²+(y-2)²=9;
y = 2 ± 3√3 / 2; но если поворот был против часовой стрелки, то надо взять бОльшую координату Y:
y = 2+3√3 /2 ≈ 4.6;
координаты точки A1:
A1 (2.5; 2+3√3 /2);