Число и сумма натуральных делителей натурального числа
Основная теорема арифметики.<span> Всякое натуральное число п > 1 либо просто, либо может быть представлено, и притом единственным образом - с точностью до порядка следования сомножителей, в виде произведения простых чисел (можно считать, что любое натуральное число, большее 1, можно представить в виде произведения простых чисел, если считать , что это произведение может содержать всего лишь один множитель).</span>
<span>Среди простых сомножителей, присутствующих в разложении `n = p1*p2*...*pk`, могут быть и одинаковые. Например, `24=2*2*2*3`. Их можно объединить, воспользовавшись операцией возведения в степень. Кроме того, простые сомножители можно упорядочить по величине. В результате получается разложение </span>
<span>`n = p_1^(alpha_1)*p_2^(alpha_2)*.......*p_k^(alpha_k)`, где `alpha_1, alpha_2, ......, alpha_k in NN` </span>
<span> (1)</span>
Такое представление числа называется каноническим разложением его на простые сомножители. Например, каноническое представление числа 2 520 имеет вид 2 520 = 23<span> • З</span>2<span> • 5 • 7.</span>
<span>Из канонического разложения числа легко можно вывести следующую лемму: Если n имеет вид (1), то , то все делители этого числа имеют вид: </span>
`d = p_1^(beta_1)*p_2^(beta_2)*......*p_k^(beta^k)`, где `0 <= beta_m <= alpha_m` ( `m = 1,2,..., k`)
<span> (2)</span>
<span>В самом деле, очевидно, что всякое d вида (2) делит а. Обратно, пусть d делит а, тогда a=cd, где с — некоторое натуральное число и, следовательно, все простые делители числа d входят в каноническое разложение числа а с показателями, не превышающими соответствующих показателей числа а. </span>
Рассмотрим две функции, заданные на множестве натуральных чисел:
<span>а) τ(n) - число всех натуральных делителей n; </span>
2) σ(n) сумма всех натуральных делителей числа n.
Пусть n имеет каноническое разложение (1). Выведем формулы для числа и суммы его его натуральных делителей.
<span>Теорема 1. Число натуральных делителей числа n </span>
`tau(n) = (alpha_1 + 1)*(alpha_2 + 1)*.....*(alpha_k + 1);`
<span> (3)</span>
<span>Доказательство. </span>
читать дальше
Пример. Число 2 520 = 23<span> • З</span>2<span> • 5 • 7. имеет (3+1)(2+1)(1+1)(1+1) = 48 делителей.</span>
Теорема 2. Пусть n имеет каноническое разложение (1). Тогда сумма натуральных делителей числа n равна
`sigma(n) = (1 + p_1 + p_1^2 + ..... + p_1^(alpha_1))*(1 + p_2 + p_2^2 + ..... + p_2^(alpha_2))* ..............* (1 + p_k + p_k^2 + .....+ p_k^(alpha_k));`
<span> (4)</span>
Доказательство.
читать дальше
Пример. Найти сумму всех делителей числа 90.
90=2 • З2<span> • 5. Тогда σ(90)=[(2</span>2-1)/(2-1)]• [З3-1)/(3-1)]• [(52-1)/(5-1)]=234
Формула (4) может помочь найти все делители числа.Так, например, чтобы найти все делители числа 90, раскроем скобки в следующем произведении (не производя операцию сложения): (1+2)(1+3+З2)(1+5)=(1+1*3+1*З2+1*2+2*3+2*З2)(1+5) = 1+3+З2+2+2*3+2*З2+ 5+3*5+З2*5+2*5+2*3*5+2*З2*5 = 1+3+9+2+6+18+5+15+45+10+30+90 - слагаемыми являются делители числа 90.
Решим несколько задач на тему "Число и сумма натуральных делителей натурального числа"
Задание 1.<span> Найдите натуральное число, зная, что оно имеет только два простых делителя, что число всех делителей равно 6, а сумма всех делителей — 28. </span>
Решение
<span>Задания из сборника TTZ - ЕГЭ 2010. Математика. Типовые тестовые задания </span>
Задание 2. TTZ.С6.2<span> Найдите все натуральные числа, которые делятся на 42 и имеют ровно 42 различных натуральных делителя (включая единицу и само число).</span>
Решение
<span>Задание 3. TTZ.С6.9 </span><span>Найдите все натуральные числа, последняя десятичная цифра которых 0 и которые имеют ровно 15 различных натуральных делителей(включая единицу и само число). </span>
Решение
<span>Задание 4. SPI.С6.9. </span>У натурального числа n ровно 6 делителей. Сумма этих делителей равна 3500. Найти n.
<span>Решение </span>VEk:
Решение
Задания для самостоятельной работы
SR1. Найти все числа, имеющие ровно 2 простых делителя, всего 8 делителей, сумма которых равна 60.
SR2.<span> Найти натуральные числа, которые делятся на 3 и на 4 и имеют ровно 21 натуральный делитель.</span>
<span>SR3. </span>Найти наименьшее натуральное число, имеющее ровно 18 натуральных делителей.
SR4.<span> Найти наименьшее число, кратное 5, имеющее 18 натуральных делителей.</span>
SR5.<span> Некоторое натуральное число имеет два простых делителя. Его квадрат имеет всего 15 делителей. Сколько делителей имеет куб этого числа? </span>
<span>SR6. </span><span>Некоторое натуральное число имеет два простых делителя. Его квадрат имеет всего 81 делитель. Сколько делителей имеет куб этого числа? </span>
<span>SR7. </span>Найти число вида m = 2x3y5z<span>, зная, что половина его имеет на 30 делителей меньше, треть —на 35 и пятая часть — на 42 делителя меньше, чем само число.</span>
Всего получается 7 частей туристов, единственное целое число 30<х<40, которое делится на 7, это - 35. Соответственно 1 часть туристов = 35/7 = 5 , значит мужчин было 20 человек, а женщин - 15. Для проверки 20/15=4/3
