Найдите все действительные числа а, при которых уравнения х^2+3х+а и х^2+3ах+1=0 имеют хотя бы один общий действительный корень.

x² + 3x + a = (x - x₁)(x - x₂)

x² + 3ax + 1 = (x - x₁)(x - x₃)

по теореме Виета: x₁ + x₂ = -3

x₁ + x₃ = -3a

x₁x₂ = a

x₁x₃ = 1

x₁x₂/(x₁x₃) = a

x₂ = ax₃

(x₁ + x₂)/(x₁ + x₃) = 1/a

ax₁ + a²x₃ = x₁ + x₃

(a-1)(x₁ + ax₃ + x₃) = 0

a = 1

x₁ + x₃ + ax₃ = -3a + ax₃ = 0

a(x₃ - 3) = 0

a = 0

x₃ = 3

x₁ = 1/x₃ = 1/3

a = -10/9

получили возможных три значения,

для а = 1 очевидно, потому что уравнения совпадают и D = 9 - 4 > 0

a = 0 => x² + 3x = 0 x₁ = 0; x₂ = -3

x² + 1 = 0; - не имеет R корней => не подходит

a = -10/9 => x = 1/3 корни обоих уравнений

Ответ: -10/9 и 1