Тема: Изображение комплексных чисел на координатной плоскости Известно, что |z1|=|z2|=|z3|=0 и |z1+z2+z3|=0. Докажите, что точки

Question

4 года назад

6

Тема: Изображение комплексных чисел на координатной плоскости Известно, что |z1|=|z2|=|z3|=0 и |z1+z2+z3|=0. Докажите, что точки

Тема: Изображение комплексных чисел
на координатной плоскости
Известно, что |z1|=|z2|=|z3|=0 и |z1+z2+z3|=0. Докажите, что
точки z1, z2, z3 образуют равносторонний треугольник.

Знания

Математика

1 ответ:

Леден · Answer 1 · 2020-11-05T07:43:50+03:00

Попробуем так $|z_{1}|=|z_{2}|=|z_{3} \neq 0 \\
 |z_{1}+z_{2}+z_{3}|=0\\
$
положим что существуют такие числа $z_{1}=a+ib\\
 z_{2}=c+id\\
 z_{3}=e+if\\
$
и такие что $a;b \neq c;d \neq e;f\\
$
По условию
$|z_{1}|=\sqrt{a^2+b^2} \\
 |z_{2}| = \sqrt{c^2+d^2}\\
 |z_{3}| = \sqrt{e^2+f^2}$
и $(a+c+e)^2+(b+d+f)^2=0$
то есть имеет места система
$\left \{ {{a^2+b^2=c^2+d^2=e^2+f^2 
 } \atop { (a+c+e)^2+(b+d+f)^2=0}} \right.$
Со второй системы уравнения следует что
$
 \left \{ {{a+c+e=0} \atop {b+d+f=0}} \right.$
Тогда как выразим $c$ и $d$ с данного уравнения и подставим в выражение
$ac+bd;ec+fd$
Теперь выразим $e ; f$ и подставим в выражения
$ec+fd;\\
ea+bf$
Получим
$a^2+b^2= c^2+d^2\\
 c^2+d^2=e^2+f^2$
Значит выражения
$ac+bd=ec+fd=ea+bf$ ,
Заметим что $(c-a)^2+(d-b)^2=a^2+b^2+c^2+d^2-2(ac+bd) \\
(e-c)^2+(f-d)^2=e^2+f^2+c^2+d^2-2(ec+fd)\\ 
(e-a)^2+(f-b)^2 = e^2+a^2+f^2+b^2-2(ea+bf)
$
Учитывая что
$|z_{1}|=|z_{2}|=|z_{3}|$
Получим что три выше сказанные выражения равны
а так как    $(c-a)^2+(d-b)^2 ; (e-c)^2+(f-d)^2 ; (e-a)^2+(f-b)^2$ - есть стороны длины и они как доказали равны , то есть удовлетворяют равенству сторон , а это в свою очередь равносторонний треугольник.