Решите в целых числах уравнение 1+x+y^2=2*x*y. Укажите наименьшую сумму пары ответов (x;y).

В заданном уравнении <span>1+x+y^2=2*x*y сделаем перестановку:
</span><span>y^2 - 2*x*y = -1 -х.
Добавим к обеим частям х</span>².
y^2 - 2*x*y + х² = х² <span>- х - 1.
</span>Левая часть - это полный квадрат.
(у + х)² =х²<span> - х - 1.
Извлечём корень из обеих частей:
у - х = +-</span>√(х²<span> - х - 1).
Отсюда уравнение приобретает вид:
у = </span>х +- √(х²<span> - х - 1).
Определяем ОДЗ по корню:
</span>х² - х - 1 ≥<span> 0.
Это уравнение параболы ветвями вверх.
Значения у </span>≥ 0 лежат выше точек пересечения её с осью х.
х²<span> - 1 - х = 0
</span> Квадратное уравнение, решаем относительно x: <span>
Ищем дискриминант:D=(-1)^2-4*1*(-1)=1-4*(-1)=1-(-4)=1+4=5;
Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:x₁=(√5-(-1))/(2*1)=(√5+1)/2=√5/2+1/2=√5/2+0.5 ≈ 1.61803;x₂=(-√5-(-1))/(2*1)=(-√5+1)/2=-√5/2+1/2=-√5/2+0.5 <span>≈ -0,61803.

Ближайшие целые значения лежат левее точки х</span>₁ и правее точки х<span>₂.
 
Ответ:
х</span>₁ = -1  у₁ = -1 +<span>√(1+1-1) = 0.
х</span>₂ = -1  у₂ = -1 - √(1+1-1) = -2.
<span>х</span>₃ = 2   у₃ = 2 + √(4-2-1)  = 3.<span>
</span>х₄<span> = 2   у</span><span>₄ = 2 - </span><span>√(4-2-1)  = 1.</span>
</span>