Lim x-0 (tgx-sinx)/x^3

Ответ:

Пошаговое объяснение: lim(x→0) ((tgx-sinx)/x³)=1/2.

lim(x→0) ((tgx-sinx)/x³)

Неопределённлсть 0/0.   ⇒

Нужно брать одновременно призводные от числителя и знаменателя,

причём знаменатель должен быть числом, отличным от нуля:

(x³)'=3x²

(3x²)'=6x

(6x)'=6.  ⇒

От числителя нужно взять три производных.

Так как в числителе сумма, ⇒ берём производные по отдельности:

1.

(tgx)'=1/cos²x=(cosx)⁻²

((cosx)⁻²)'=-2*(cosx)⁻³*(-sinx)=2*(cosx)⁻³*sinx

(2*(cosx)⁻³*sinx)'=-6*(cosx)⁻⁴*sinx+2*(cosx)⁻²*cosx=

=-6*(cosx)⁻⁴*sinx+(2/(cosx)).

2.

(-sinx)'=-cosx

(-cosx)'=sinx

(sinx)'=cosx    ⇒

(-6*(cos0)⁻⁴*sin0+(2/(cos0))+cos0)/6=(-6*1*0+(2/1)+1)/6=3/6=1/2.