Докажите что при любом натуральном n выполняется равенство 1^3+3^3+5^3+...+(2n-1)^3=2^2(2n^2-1)

Ответ:

Докажем с помощью математической индукций 

база 1 верна 

теперь переход n->n+1

\begin{lgathered}1^3+2^3+3^3+...n^3=\frac{n^2(n+1)^2}{4}\\\end{lgathered}13+23+33+...n3=4n2(n+1)2

переход

\begin{lgathered}1^3+2^3+3^3+...n^3+(n+1)^3=\frac{(n+1)^2(n+2)^2}{4}\\\end{lgathered}13+23+33+...n3+(n+1)3=4(n+1)2(n+2)2

 так как  предыдущий ряд равен \frac{n^2(n+1)^2}{4}4n2(n+1)2

 то нужно доказать что \begin{lgathered}\frac{(n+1)^2*n^2}{4}+(n+1)^3=\frac{(n+1)^2(n+2)^2}{4}\\\end{lgathered}4(n+1)2∗n2+(n+1)3=4(n+1)2(n+2)2

докажем 

\begin{lgathered}\frac{(n+1)^2*n^2}{4}+(n+1)^3=\frac{(n+1)^2(n+2)^2}{4}\\ \frac{(n+1)^2*n^2+4(n+1)^3}{4}=\frac{(n+1)^2*(n+2)^2}{4}\\ \frac{(n+1)^2(n^2+4(n+1))}{4}=\frac{(n+1)^2(n+2)^2}{4}\\ \frac{(n+1)^2(n+2)^2}{4}=\frac{(n+1)^2(n+2)^2}{4}\\\end{lgathered}4(n+1)2∗n2+(n+1)3=4(n+1)2(n+2)24(n+1)2∗n2+4(n+1)3=4(n+1)2∗(n+2)24(n+1)2(n2+4(n+1))=4(n+1)2(n+2)24(n+1)2(n+2)2=4(n+1)2(n+2)2

Доказано

2)\begin{lgathered}1^3+3^3+5^3...+(2n-1)^3=n^2(2n^2-1)\\ n=1\ verno\\ n->n+1\\ 1^3+3^3+5^3...(2n-1)^3+(2n+1)^3=(n+1)^2(2(n+1)^2-1)\\ n^2(2n^2-1)+(2n+1)^3=(n+1)^2(2(n+1)^2-1)\\ (n+1)^2(2n^2+4n+1)=(n+1)^2(2n^2+4n+1)\end{lgathered}13+33+53...+(2n−1)3=n2(2n2−1)n=1 vernon−>n+113+33+53...(2n−1)3+(2n+1)3=(n+1)2(2(n+1)2−1)n2(2n2−1)+(2n+1)3=(n+1)2(2(n+1)2−1)(n+1)2(2n2+4n+1)=(n+1)2(2n2+4n+1)

Доказано