Фразу: "А весной линяют разные звери, Не линяет только …" (как спрашивается в заглавном вопросе) можно по-разному, ну например, как варианты:
"А весной линяют разные звери, Не линяет только плюшевый мишка/зайка/котик/слоник/пони...."
"А весной линяют разные звери, Не линяет только лопоухий Мишка"
"А весной линяют разные звери, Не линяет только крокодил/бегемот/носорог из Нила/Конго"
"А весной линяют разные звери, Не линяет только Средиземский Смауг/ Дрого, Рэйгал и Визерион/Змей Горыныч"
"А весной линяют разные звери, Не линяет только Человек-Паук/Бэтмен рукокрылый/Синий-Blue жук-Beetle/адский красный Хеллбой/зело-тролльный Халк"
"А весной линяют разные звери, Не линяет только зеленый огр Шрек"
и пр-пр-пр.....
Ответ же на уточненный, развернутый вопрос:
однозначен:
в песне к кинофильму "Еще раз про любовь" на слова Матвеева и музыку Флярковского - не линяет "только солнечный зайчик", о чем и спела исполнительница главной роли - Татьяна Доронина.