Вычислить площадь треугольника, ограниченного осями координат и касательной к графику функции у=х/(2х — 1) в точке с абсциссой х0=1.

<span>Вычислить площадь треугольника, ограниченного осями координат и касательной к графику функции у=х/(2х — 1) в точке с абсциссой х₀=1.

Решение:
Найдем уравнение касательной к графику функции </span>
<span>у=х/(2х — 1) в точке с абсциссой х₀=1.
Уравнение касательной записывается по формуле
 
                                    y(x)=y'(x₀)(x-x₀)+y(x₀)

Найдем значение </span><span>y(x₀)

</span>y(x₀) = <span>х₀/(2х₀ — 1)
Так как х₀=1, то
</span>y(1) = 1<span>/(2*1 — 1)=1
</span>Найдем производную функции

Значение производной функции в точке x₀=1
y'(1)=-1/(2*1-1)²=-1
Запишем уравнение касательной

                                   y =-(x-1)+1=-x+2
Данная прямая имеет две точки пересечения с осями координат
При х=0 у=2 и х=2  у=0
(0;2) и (2;0)
Найдем площадь треугольника через интеграл так как площадь фигуры ограничена прямой касательной с пределами интегрирования от х₁=0 до х₂=2


Или найти площадь прямоугольного треугольника( так как оси координат имеют угол 90⁰)  с катетами равными 2
S=(a*b)/2=2*2/2=2

Ответ: S=2

Решение дано на фото.