Докажи, что в каждой окружности все диаметры делятся центром окружности на 2 равных отрезка

Исходим из  "<span>все диаметры" доказать надо  "делятся центром окружности на 2 равных отрезка".

Возьмем любой произвольный диаметр (то есть общий случай для которого доказательство будет считаться доказательством для ЛЮБОГО диаметра). 
По определению данный взятый произвольный диаметр есть хорда проходящая через центр окружности. 
Окружность это множество точек плоскости равноудаленных от данной точки - центра. А расстояние от центра до любой точки окружности будет называться радиусом. 
Вернемся к нашему взятому диаметру (который содержит центр окружности). Так как это диаметр ОКРУЖНОСТИ, то расстояние от центра до 1-го конца диаметра будет равен расстоянию от этого же центра до другого конца этого же диаметра. Это будут 2 радиуса. Что и требовалось доказать. </span>