Решить уравнение tg²πx/4 + ctg²πx/4 = - x² - 2x + 1

Question

Татьяна 4556 [83]

4 года назад

5

Решить уравнение tg²πx/4 + ctg²πx/4 = - x² - 2x + 1

Решить уравнение
tg²πx/4 + ctg²πx/4 = - x² - 2x + 1

Знания

Математика

1 ответ:

mgxp3 [7] · Answer 1 · 2020-03-17T13:58:12+03:00

Используя неравенство $A+\frac{1}{A} \geq 2$ при $A>0$
(оно равносильно $\frac{(A-1)^2}{A} \geq 0$
квадрат выражения всегда неотрицателен, знаменатель А положителен по ограничению)
прием равенство возможно только в случае A=1

$tg^2 \frac{\pi*x}{4}+ctg^2 \frac{\pi*x}{4}=tg^2 \frac{\pi*x}{4}+\frac{1}{tg^2 \frac{\pi*x}{4}} \geq 2$

$-x^2-2x+1=-x^2-2x-1+1+1=-(x-1)^2+2 \leq 2$
причем равенство возможно только при x=1 (вершина параболы)

имеем что левая часть больше или равна 2, правая меньше или равна 2, а значит уравнение имеем решение, только когда обе части равны 2

так как при х=1
$tg^2 \frac{\pi*x}{4}=tg^2 \frac{\pi*1}{4}=1$
то х=1 - единственное решение
ответ: 1