В современном русском языке нередко мирно уживаются варианты на всех его уровнях, начиная с произношения и завершая стилистикой. Это относится и к имени прилагательному из вопроса.
Существует не два, а четыре равноправных варианта этого слова: мягенький/мякенький (с суффиксом - еньк-+чередование согласного в корне) и мягонький/мяконький (с суффиксом -оньк-+чередование г//к в корне).
Смотрим орфоэпический словарь И. Резниченко
Правильно писать "участвовавший", проверочное слово "участие".
В этом слове и в первом, и во втором слогах правильно писать букву "е" - неделя. Для него нет никакого отдельного правила, это словарное слово и правильность его написания нужно запомнить. Слово "неделя" происходит из древне-русского языка и означает "нерабочий день".
Имя, о котором Вы спрашиваете, образовалось от имени Федя, являющегося сокращённым вариантом имени Фёдор, с помощью уменьшительно-ласкат<wbr />ельного суффикса -ечк-. Так что правильно писать его в соответствии с первым предположенным Вами вариантом.
Довольный человек - это человек, удовлетворенный жизнью. Слово "довольный" образованно от слова "вдОволь", т.е. когда имеет достаток во всем.
"О, как доволен, как даже добр в эту минуту этот милый, многообещающий молодой человек!" (И.С. Тургенев).