Роман Филиппов родился 24 января 1936 года в Симферополе в семье провинциального актёра. Большую роль в его дальнейшей творческой судьбе сыграла встреча с Верой Пашенной, приехавшей в город Горький на смотр молодых дарований. После этого Филиппов, ранее не помышлявший об артистической деятельности, решает посвятить сцене свою судьбу. Он поступает в Высшее театральное училище имени М. С. Щепкина на курс Веры Пашенной. Его сокурсниками во время учёбы были Алексей Эйбоженко, Юрий Соломин и Виктор Борцов.
В 1957 году он получает актёрское образование и зачисляется в штат Малого театра и работает в нём до 1960 года, когда из-за разногласий с театральным руководством[проясни<wbr />ть] вынужден уйти в другие сценические коллективы. Такими для Романа Сергеевича в будущем станут:
в 1960—1961 годах — Московский драматический театр имени А. С. Пушкина;
в 1961—1962 — Москонцерт;
в 1962—1969 годах — Национальный академический театр имени Янки Купалы в Минске.
В 1969 году актёр возвращается в Малый театр и играет в нём до конца жизни. В кино — с 1954 года (первая роль — борец в фильме «Чемпион мира»). Принимал участие в озвучании мультфильмов, автор текстов к песням кинофильмов.
Во время работы в Минске начинает профессионально увлекаться переводами на белорусский язык, изъяснение на котором для актёра было жизненно необходимым при трудоустройстве в национальный театр (изучил за крайне короткий срок — 7 дней[1]). Увлекался игрой в шахматы и поэзией. Обладал редким от природы, низким и грудным голосом — басом-профундо, что придавало его героям особое обаяние.
Скончался 18 февраля 1992 года вследствие тромбоэмболии. Похоронен в Москве на Троекуровском кладбище (участок № 2).
Жена — Екатерина Андреевна Филиппова.