Сколько надо взять слагаемвх, чтобы сумма n слагаемых 1/1*2 + 1/2*3 + 1/3*4 ...+ 1/n(n+1) Была больше 16/17

1/((n(n+1)) = 1/(n)-1/(n+1); Тогда:    
1/1-1/2    
1/2-1/3 
1/3-1/4 ....
1/n-1/(n+1) .... 
Все сокращается, кроме единицы и последнего члена и тогда сумма равна:
1-1/(n+1), а теперь осталось решить неравенство:
1-1/(n+1) > 16/17;
33/17-1/(n+1) > 0;    
(33(n+1)-17)/(17(n+1)) > 0;
Решаем методом интервалов, n = -1, n = 16; 
То решением неравенство будет: n e (-inf; -1) U (16;+inf), значит нужно взять по крайне мере 17 слагаемых.

S₁ = 1/2
S₂ = 1/2 + 1/6 = 3/6 + 1/4 = 4/6 = 2/3
S₃ = 1/2 + 1/6 + 1/12 = 2/3 +1/12 = 9/12 = 3/4
S₄ = 3/4 + 1/20 = 16/20 = 4/5
Видно, что сумма задаётся формулой Sn = n/(n + 1)
n/(n + 1) > 16/17
n/(n + 1) - 16/17 >0 
[17n - 16(n + 1)]/17(n + 1) > 0 
[17n - 16n - 16]/(n + 1) > 0
(n - 16)/(n + 1) > 0
Нули числителя: n = 16
Нули знаменателя: n = -1
 ||||+||||||||-1            -                16||||||+||||||||||||
------------0--------------------------0-----------------> n
16 не входит в решение неравенства, значит, 17 слагаемых надо вязть.
Ответ: 17.