При каком наибольшем a система уравнений имеет решение в целых числах?

Question

Ольга233 [175]

3 года назад

5

При каком наибольшем a система уравнений имеет решение в целых числах?

Знания

Математика

1 ответ:

Нишель · Answer 1 · 2021-12-13T22:27:48+03:00

$\left \{ {{x-2y=3} \atop {ax+y=2}} \right. \\$
$\left \{ {{x-2y=3} \atop {2ax+2y=4}} \right. \\ \\$

сложим уравнения

$(1 + 2a)x = 7 \\ x = \frac{7}{1 + 2a} \\ y = 2 - ax = \\ = 2 - \frac{7a}{1 + 2a} = \\ = \frac{2 + 4a - 7a}{1 + 2a} = \frac{2 - 3a}{1 + 2a}$
Так как решения могут быть только целыми, то из выражения для х
$x = \frac{7}{1 + 2a} \\$

мы видим, что
1+2а=7 откуда а=3
или 1+2а=1 откуда а=0

$y = \frac{2 - 3a}{1 + 2a}$

при а=0
$y = \frac{2 - 0}{1 + 0} = 2$

при а=3
$y = \frac{2 - 9}{1 + 6} = - 1$

при обоих значениях а решения будут целыми

наибольшее а=3

Ответ при а=3