Есть такая теорема об остатках при делении на 3 (или на 9). Остаток от
деления числа на 3 (или на 9) равен остатку от деления на 3 (или на 9)
его суммы цифр. (Признак делимости на 3 (или на 9) в общем виде).
Этим и воспользуемся, найдём остаток от деления числа
.
Для этого представим число 11 = 9 + 2, как сумму девятки и двойки, а
затем возведём в степень 2017 и разложим по формуле бинома Ньютона.
В полученном выражении все слагаемые, кроме последнего, делятся на 9 (там присутствует 9).
Аналогично сделаем для последнего слагаемого
, проделаем некоторые действия, чтобы появилась девятка.
В полученном выражении на 9 не делится только последний член, который и является остатком.
Итак, остаток при делении числа на 9 равен 2, значит,
остаток от делении суммы его цифр на 9 даёт точно такой же остаток.
Ответ: 2
Этим и воспользуемся, найдём остаток от деления числа
В полученном выражении все слагаемые, кроме последнего, делятся на 9 (там присутствует 9).
Аналогично сделаем для последнего слагаемого
В полученном выражении на 9 не делится только последний член, который и является остатком.
Итак, остаток при делении числа
Ответ: 2