В школе на переменах (и на уроках тоже) по коридорам бегать нельзя, т.к. это может травмировать детей. Это и случилось с вашим ребенком. Если бы он не бегал, он бы скорее всего не получил бы травму. Ребенка жалко. Но ребенок не только получил травму, но и нанес ущерб школе. Так уж устроено в нашей стране, что государство возмещать этот ущерб не будет, шефов у школы (как раньше было) нет. Так что оплачивать ремонт должен тот, кто сломал. Сломали ваш ребенок и те ребята, которые его толкнули. Объединяйтесь с родителями тех ребят (того ребенка) и оплачивайте. А с ребенком проведите воспитательную беседу, что его беготня во время перемен вам слишком дорого обходится. Причем не только в материальном, но и в плане здоровья.
Восстанавливая дверь или еще что-то из мебели, вы помогаете не посторонним людям, а школе, в которой учится и, судя по всему, еще долго будет учиться ваш ребенок.
Если у вас есть большое желание в своего ребенка вшить датчик передвижения, то можете смело это делать, заодно будете знать, где находится ребенок.
Учитель и директор, на мой взгляд, поступают правильно, только к ответственности надо привлечь еще и того, с кем ребенок играл, от кого убегал, кто его толкнул. Никакой ошибки со сторону учителя нет.